1. Đề bài
Một hộp chứa 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh và 3 quả cầu vàng (các quả cầu chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 2 màu.
2. Dạng toán
Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp sử dụng biến cố đối. Đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 10, khi việc đếm trực tiếp số trường hợp thuận lợi gặp nhiều khó khăn hoặc cần chia thành quá nhiều trường hợp nhỏ.
3. Phương pháp giải
- Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ dựa vào phép tổ hợp.
- Bước 2: Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Xác định biến cố đối $\overline{A}$ của $A$. Trong bài toán này, đối lập với “có ít nhất 2 màu” chính là “chỉ có duy nhất 1 màu”.
- Bước 3: Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố đối $n(\overline{A})$ và xác suất $P(\overline{A})$.
- Bước 4: Tính xác suất của biến cố $A$ theo công thức $P(A) = 1 – P(\overline{A})$.
4. Lời giải chi tiết
Tổng số quả cầu trong hộp là: $5 + 4 + 3 = 12$ (quả).
Phép thử là lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 12 quả cầu. Số phần tử của không gian mẫu là: $$n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$$
Gọi $A$ là biến cố: “3 quả cầu lấy ra có ít nhất 2 màu”.
Khi đó, biến cố đối $\overline{A}$ là: “3 quả cầu lấy ra chỉ có 1 màu” (hay 3 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ, cùng màu xanh hoặc cùng màu vàng).
Ta xét các trường hợp sau để tính số phần tử của $\overline{A}$:
- Trường hợp 1: 3 quả lấy ra đều màu đỏ. Số cách lấy là $C_5^3 = 10$ (cách).
- Trường hợp 2: 3 quả lấy ra đều màu xanh. Số cách lấy là $C_4^3 = 4$ (cách).
- Trường hợp 3: 3 quả lấy ra đều màu vàng. Số cách lấy là $C_3^3 = 1$ (cách).
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$ là: $$n(\overline{A}) = 10 + 4 + 1 = 15$$
Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: $$P(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A})}{n(\Omega)} = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$$
Vậy xác suất của biến cố $A$ cần tìm là: $$P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$$
5. Bài tập tự luyện
Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em củng cố kiến thức về xác suất cổ điển:
- Câu 1: Một hộp chứa 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra có cùng màu. (ĐS: $\frac{7}{15}$)
- Câu 2: Một tổ học sinh gồm 7 nam và 5 nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để đi lao động. Tính xác suất để nhóm học sinh được chọn có ít nhất 1 bạn nữ. (ĐS: $\frac{37}{44}$)
- Câu 3: Trong một hộp bút có 4 bút màu xanh, 3 bút màu đen và 2 bút màu đỏ (các bút chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc bút. Tính xác suất để 3 chiếc bút lấy ra có đủ 3 màu. (ĐS: $\frac{2}{7}$)
- Câu 4: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt lớn hơn 8. (ĐS: $\frac{5}{18}$)
- Câu 5: Từ một bộ bài tú lơ khơ 52 lá, rút ngẫu nhiên đồng thời 4 lá. Tính xác suất để trong 4 lá bài được rút ra có ít nhất một lá Át (Ace). (ĐS: $1 – \frac{C_{48}^4}{C_{52}^4} \approx 0.281$)