Mệnh đề – Cơ sở logic toán học

Định nghĩa

Mệnh đề là một câu khẳng định hoặc câu phủ định có thể xác định được giá trị chân lý (đúng hoặc sai). Mệnh đề đúng ký hiệu là $V$ (hoặc $1$), mệnh đề sai ký hiệu là $F$ (hoặc $0$).

Các câu không phải mệnh đề: câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thán, câu chứa biến chưa gán giá trị (mệnh đề hàm).

Công thức / Ký hiệu

• Phủ định: $\neg P$ hoặc $\overline{P}$
• Hợp (và): $P \land Q$
• Tuyển (hoặc): $P \lor Q$
• Kéo theo (nếu…thì…): $P \Rightarrow Q$
• Tương đương (khi và chỉ khi): $P \Leftrightarrow Q$

Phương pháp giải

1. Xác định câu có phải mệnh đề không.
2. Nếu là mệnh đề, tìm giá trị chân lý của các thành phần.
3. Áp dụng bảng chân lý của các phép liên kết để tính giá trị mệnh đề phức.
4. Đối với mệnh đề chứa lượng từ: xét tập xác định, tìm phần tử thỏa mãn.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Đề bài: Cho các câu sau. Câu nào là mệnh đề? Xác định giá trị chân lý.

a) 2 + 3 = 5. b) Hãy đóng cửa. c) $x^2 – 4 = 0$. d) Hà Nội là thủ đô Việt Nam.

Giải:

a) Là mệnh đề, đúng ($V$).

b) Không phải mệnh đề (câu mệnh lệnh).

c) Không phải mệnh đề (chứa biến $x$, là mệnh đề hàm).

d) Là mệnh đề, đúng ($V$).

Ví dụ 2

Đề bài: Cho mệnh đề $P$: “5 là số nguyên tố”, $Q$: “6 chia hết cho 4”. Xác định giá trị chân lý của $P \land Q$, $P \lor Q$, $P \Rightarrow Q$.

Giải:

$P$ đúng, $Q$ sai.

$P \land Q$: sai ($F$).

$P \lor Q$: đúng ($V$).

$P \Rightarrow Q$: sai ($F$) vì đúng kéo theo sai.

Ví dụ 3

Đề bài: Viết phủ định của mệnh đề: “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ”.

Giải:

Mệnh đề gốc: $\forall x \in \mathbb{P}, x \text{ lẻ}$.

Phủ định: $\exists x \in \mathbb{P}, x \text{ không lẻ}$ (tức là tồn tại số nguyên tố chẵn).

Giá trị: Phủ định đúng vì 2 là số nguyên tố chẵn.

Ví dụ 4

Đề bài: Xác định giá trị chân lý của mệnh đề: “Nếu $a > 0$ thì $a^2 > 0$” với $a \in \mathbb{R}$.

Giải:

Với mọi $a > 0$, $a^2 > 0$ luôn đúng. Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ với $P$: $a>0$, $Q$: $a^2>0$.

Khi $a \le 0$, $P$ sai $\Rightarrow$ mệnh đề đúng (theo bảng chân lý).

Khi $a > 0$, $P$ đúng, $Q$ đúng $\Rightarrow$ mệnh đề đúng.

Vậy mệnh đề đúng với mọi $a \in \mathbb{R}$.

Ví dụ 5

Đề bài: Chứng minh mệnh đề sau là đúng: “$\sqrt{2}$ là số vô tỷ”.

Giải:

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỷ $\Rightarrow \sqrt{2} = \frac{m}{n}$ với $m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$, $(m,n)=1$.

$\Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m^2$ chẵn $\Rightarrow m$ chẵn.

Đặt $m = 2k \Rightarrow 4k^2 = 2n^2 \Rightarrow n^2 = 2k^2 \Rightarrow n$ chẵn.

Vậy $m,n$ cùng chẵn $\rightarrow$ mâu thuẫn với $(m,n)=1$.

Suy ra giả sử sai, $\sqrt{2}$ là số vô tỷ. Mệnh đề đúng.

Kết luận / Chú ý

• Mệnh đề phải có giá trị chân lý xác định (đúng hoặc sai), không được mơ hồ.
• Phép kéo theo $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
• Phủ định của mệnh đề lượng từ: $\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$; $\neg(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x)$.
• Hai mệnh đề tương đương khi chúng có cùng giá trị chân lý ở mọi trường hợp.

Bài tập về nhà

1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. $3 \in \mathbb{N}$ B. $\emptyset \subset \emptyset$ C. $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0$ D. $\exists x \in \mathbb{Z}, x^2 = -1$
   💡Lời giải - Đáp án▶

   C

2. Phủ định của mệnh đề “Tồn tại số thực $x$ sao cho $x^2 + 1 = 0$” là:
   💡Lời giải - Đáp án▶

   Mọi số thực $x$ đều không thỏa mãn $x^2 + 1 = 0$ (hoặc $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0$)

3. Cho $P$: “2 + 2 = 4”, $Q$: “3 $\times$ 3 = 8”. Giá trị của $P \Leftrightarrow Q$ là:
   💡Lời giải - Đáp án▶

   Sai ($F$)

4. Mệnh đề “Nếu $a > b$ thì $a^2 > b^2$” đúng với mọi $a,b \in \mathbb{R}$?
   💡Lời giải - Đáp án▶

   Sai. Ví dụ: $a = -1, b = -2 \Rightarrow a > b$ nhưng $a^2 = 1 < 4 = b^2$[/loigiai]

5. Viết mệnh đề ngược, mệnh đề đối, mệnh đề đối ngược của: “Nếu tam giác đều thì tam giác cân”.
   💡Lời giải - Đáp án▶
   Ngược: Nếu tam giác cân thì tam giác đều. Đối: Nếu tam giác không đều thì tam giác không cân. Đối ngược: Nếu tam giác không cân thì tam giác không đều.