Đề bài:
Một hộp chứa 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh và 3 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy ra có đủ ba màu.
1. Dạng toán:
Tính xác suất của biến cố trong mô hình xác suất cổ điển thông qua các quy tắc đếm và tổ hợp.
2. Phương pháp giải:
- Bước 1: Xác định phép thử, tìm không gian mẫu $\Omega$ và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$.
- Bước 2: Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Liệt kê hoặc dùng quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) để tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, kí hiệu là $n(A)$.
- Bước 3: Áp dụng công thức tính xác suất cổ điển: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
3. Lời giải chi tiết:
Tổng số quả cầu trong hộp là: $5 + 4 + 3 = 12$ (quả cầu).
Phép thử là lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 12 quả cầu. Số phần tử của không gian mẫu là:
$n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$
Gọi $A$ là biến cố: “3 quả cầu lấy ra có đủ ba màu”.
Để lấy được 3 quả cầu có đủ ba màu, ta phải lấy chính xác 1 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh và 1 quả cầu vàng.
Áp dụng quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:
$n(A) = C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^1 = 5 \times 4 \times 3 = 60$
Xác suất của biến cố $A$ là:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$
Kết luận: Xác suất để 3 quả cầu lấy ra có đủ ba màu là $\frac{3}{11}$.
4. Bài tập tương tự (Tự luyện):
Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em rèn luyện thêm kĩ năng tính xác suất. Hãy tự giải trước khi đối chiếu đáp án nhé!
- Bài 1: Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để tham gia đội văn nghệ. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có đúng 2 nam và 2 nữ.
- Bài 2: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng 7.
- Bài 3: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu.
- Bài 4: Một tổ có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để trong 3 người được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ.
- Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập một số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ các số vừa lập. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Xem đáp án và lời giải
Bài 1:
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{25}^4 = 12650$.
Số cách chọn 2 nam và 2 nữ: $n(A) = C_{15}^2 \times C_{10}^2 = 105 \times 45 = 4725$.
Xác suất: $P(A) = \frac{4725}{12650} = \frac{189}{506}$.
Bài 2:
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.
Các kết quả thuận lợi để tổng bằng 7 là: $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) \Rightarrow n(A) = 6$.
Xác suất: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Bài 3:
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$.
Hai quả cùng màu có thể cùng trắng hoặc cùng đen: $n(A) = C_6^2 + C_4^2 = 15 + 6 = 21$.
Xác suất: $P(A) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.
Bài 4:
Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10}^3 = 120$.
Biến cố đối $\overline{A}$: “Cả 3 người được chọn đều là nam”. $n(\overline{A}) = C_7^3 = 35$.
Xác suất $P(\overline{A}) = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}$.
Xác suất cần tìm: $P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$.
Bài 5:
Không gian mẫu là các số có 3 chữ số khác nhau từ 7 chữ số: $n(\Omega) = A_7^3 = 210$.
Gọi số cần lập là $\overline{abc}$. Để là số chẵn, $c \in \{2; 4; 6\}$ (có 3 cách chọn).
Chọn $a, b$ từ 6 chữ số còn lại: $A_6^2 = 30$ cách.
Số kết quả thuận lợi: $n(A) = 3 \times 30 = 90$.
Xác suất: $P(A) = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}$.