Dạng toán
Bài toán thuộc chủ đề Xác suất cổ điển (Toán 10), cụ thể là dạng toán: Tính xác suất của biến cố liên quan đến phép thử chọn ngẫu nhiên các phần tử từ một tập hợp.
Phương pháp giải
Để tính xác suất của biến cố $A$ theo định nghĩa cổ điển, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$. Thường sử dụng các quy tắc đếm (cộng, nhân) hoặc tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị.
- Bước 2: Xác định biến cố $A$ và tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, kí hiệu là $n(A)$.
- Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$ theo công thức: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
Lời giải chi tiết
Phép thử: Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa $5 + 4 + 3 = 12$ quả cầu.
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 3 quả cầu từ 12 quả cầu:$$n(\Omega) = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!9!} = 220$$
Biến cố $A$: “3 quả cầu lấy ra có đủ 3 màu”.
Để lấy được 3 quả cầu có đủ 3 màu (đỏ, xanh, vàng) thì mỗi màu ta phải lấy đúng 1 quả cầu. Áp dụng quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:$$n(A) = C_5^1 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$$
Xác suất của biến cố $A$ là:$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$$
Kết luận: Xác suất để 3 quả cầu lấy ra có đủ 3 màu là $\frac{3}{11}$.
Bài tập tương tự
Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em rèn luyện thêm:
- Bài 1: Một tổ gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để tham gia trực nhật. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có đúng 2 nam và 2 nữ.
- Bài 2: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng 8.
- Bài 3: Một hộp chứa 6 bi trắng và 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi cùng màu.
- Bài 4: Từ một bộ bài tây 52 lá, rút ngẫu nhiên 3 lá. Tính xác suất để rút được 3 lá cùng chất (cùng cơ, cùng rô, cùng chuồn hoặc cùng bích).
- Bài 5: Một lớp có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Văn và 5 học sinh giỏi cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất để học sinh đó chỉ giỏi đúng 1 môn (Toán hoặc Văn). (Giả sử trong số 20 học sinh giỏi ít nhất 1 môn)
Xem đáp án và lời giải
Bài 1:
– Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{12}^4 = 495$.
– Số cách chọn 2 nam và 2 nữ: $n(A) = C_7^2 \cdot C_5^2 = 21 \cdot 10 = 210$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{210}{495} = \frac{14}{33}$.
Bài 2:
– Số phần tử không gian mẫu khi gieo xúc xắc 2 lần: $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$.
– Các trường hợp tổng số chấm bằng 8: $(2;6), (6;2), (3;5), (5;3), (4;4)$. Có 5 kết quả thuận lợi. $n(A) = 5$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{5}{36}$.
Bài 3:
– Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$.
– Số cách lấy 2 bi cùng màu: $n(A) = C_6^2 + C_4^2 = 15 + 6 = 21$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.
Bài 4:
– Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{52}^3 = 22100$.
– Số cách rút 3 lá cùng chất: $4 \cdot C_{13}^3 = 4 \cdot 286 = 1144$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{1144}{22100} = \frac{22}{425}$.
Bài 5:
– Sĩ số nhóm học sinh giỏi ít nhất 1 môn: $15 + 10 – 5 = 20$. Vậy $n(\Omega) = C_{20}^1 = 20$.
– Số học sinh chỉ giỏi đúng 1 môn: $(15 – 5) + (10 – 5) = 15$. Vậy $n(A) = 15$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.