1. Đề bài
Một câu lạc bộ Toán học gồm $15$ học sinh, trong đó có $6$ học sinh nam và $9$ học sinh nữ. Giáo viên phụ trách cần chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh để thành lập đội tuyển tham gia kỳ thi đồng đội. Tính xác suất để trong $4$ học sinh được chọn có ít nhất $1$ học sinh nam và ít nhất $1$ học sinh nữ.
2. Dạng toán
Bài toán thuộc chuyên đề Xác suất cổ điển (Toán 10). Cụ thể đây là dạng bài: Tính xác suất của biến cố thông qua phương pháp sử dụng biến cố đối.
3. Phương pháp giải
- Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ (tổng số cách chọn $4$ học sinh từ $15$ học sinh).
- Bước 2: Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Thay vì tính trực tiếp nhiều trường hợp (1 nam 3 nữ, 2 nam 2 nữ, 3 nam 1 nữ), ta xét biến cố đối $\overline{A}$: “Trong $4$ học sinh được chọn không thỏa mãn có cả nam và nữ”, tức là “Chọn được $4$ học sinh đều là nam hoặc đều là nữ”.
- Bước 3: Tính số kết quả thuận lợi cho $\overline{A}$, từ đó suy ra $n(A) = n(\Omega) – n(\overline{A})$.
- Bước 4: Áp dụng công thức xác suất cổ điển $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
4. Lời giải chi tiết
– Tính không gian mẫu: Số cách chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh từ $15$ học sinh của câu lạc bộ là: $n(\Omega) = C_{15}^4 = 1365$ (cách).
– Gọi biến cố: Gọi $A$ là biến cố: “Trong $4$ học sinh được chọn có ít nhất $1$ nam và ít nhất $1$ nữ”. Khi đó, biến cố đối của $A$ là $\overline{A}$: “$4$ học sinh được chọn đều là nam hoặc đều là nữ”.
– Tính $n(\overline{A})$: Biến cố $\overline{A}$ gồm 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Chọn được $4$ học sinh nam từ $6$ nam có $C_6^4 = 15$ (cách).
- Trường hợp 2: Chọn được $4$ học sinh nữ từ $9$ nữ có $C_9^4 = 126$ (cách).
Suy ra số kết quả thuận lợi cho $\overline{A}$ là: $n(\overline{A}) = 15 + 126 = 141$.
– Tính $n(A)$: Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $n(A) = n(\Omega) – n(\overline{A}) = 1365 – 141 = 1224$.
– Tính xác suất: Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1224}{1365} = \frac{408}{455}$.
Kết luận: Xác suất để đội tuyển được chọn có ít nhất $1$ nam và ít nhất $1$ nữ là $\frac{408}{455}$.
5. Bài tập tự luyện
Các em hãy áp dụng phương pháp trên để giải các bài toán tương tự sau nhé:
- Câu 1: Một hộp chứa $5$ viên bi đỏ và $7$ viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên $3$ viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để chọn được ít nhất $1$ viên bi đỏ.
- Câu 2: Một tổ gồm $8$ nam và $6$ nữ. Cần chọn ra $5$ người đi trực nhật. Tính xác suất để trong $5$ người được chọn có đúng $2$ nữ.
- Câu 3: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất $2$ lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong $2$ lần gieo bằng $8$.
- Câu 4: Có $4$ bông hoa hồng đỏ, $5$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng trắng. Chọn ngẫu nhiên $4$ bông hoa. Tính xác suất để $4$ bông hoa được chọn có đủ cả $3$ màu.
- Câu 5: Từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau? Chọn ngẫu nhiên một số trong các số đó, tính xác suất để chọn được số chẵn.