1. Đề bài
Một lớp học có $15$ học sinh nam và $10$ học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh để tham gia ban tổ chức sự kiện chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam của trường. Tính xác suất để ban tổ chức được chọn có đúng $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ.
2. Dạng toán
Xác suất cổ điển: Tính xác suất của biến cố thông qua việc đếm số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng các quy tắc đếm (Quy tắc cộng, quy tắc nhân) và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
3. Phương pháp giải
- Bước 1: Xác định phép thử và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$. Ở đây, phép thử là chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh từ tổng số học sinh của lớp. Việc chọn không phân biệt thứ tự nên ta dùng tổ hợp chập $4$.
- Bước 2: Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, kí hiệu là $n(A)$. Phân chia quá trình chọn thành các công đoạn (chọn nam, chọn nữ) và sử dụng quy tắc nhân.
- Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$ theo công thức định nghĩa xác suất cổ điển: $$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$
4. Lời giải chi tiết
Tổng số học sinh của lớp là: $15 + 10 = 25$ (học sinh).
Phép thử: Chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh từ $25$ học sinh của lớp.
Vì việc chọn không phân biệt thứ tự nên số phần tử của không gian mẫu là số tổ hợp chập $4$ của $25$ phần tử:
$$n(\Omega) = C_{25}^4 = 12650$$
Gọi $A$ là biến cố: “Ban tổ chức được chọn có đúng $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ”.
Để biến cố $A$ xảy ra, ta thực hiện liên tiếp 2 công đoạn sau:
- Công đoạn 1: Chọn $2$ học sinh nam từ $15$ học sinh nam của lớp, số cách chọn là: $C_{15}^2 = 105$ (cách).
- Công đoạn 2: Chọn $2$ học sinh nữ từ $10$ học sinh nữ của lớp, số cách chọn là: $C_{10}^2 = 45$ (cách).
Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:
$$n(A) = C_{15}^2 \times C_{10}^2 = 105 \times 45 = 4725$$
Xác suất của biến cố $A$ là:
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4725}{12650} = \frac{189}{506}$$
Kết luận: Xác suất để chọn được $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ vào ban tổ chức là $\frac{189}{506}$.
5. Bài tập tự luyện
Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em củng cố kiến thức:
- Câu 1: Một hộp chứa $6$ quả cầu đỏ và $4$ quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên $3$ quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để chọn được đúng $2$ quả đỏ và $1$ quả xanh.
- Câu 2: Một tổ học tập có $7$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ. Giáo viên cần chọn ngẫu nhiên $4$ học sinh đi trực nhật. Tính xác suất để $4$ học sinh được chọn có ít nhất $1$ học sinh nữ.
- Câu 3: Trong một bình cắm hoa có $8$ bông hồng vàng và $5$ bông hồng đỏ. Lấy ngẫu nhiên $4$ bông hoa. Tính xác suất để lấy được đúng $3$ bông hồng vàng.
- Câu 4: Đội thanh niên tình nguyện của trường gồm $12$ đoàn viên khối 12 và $8$ đoàn viên khối 11. Cần chọn ngẫu nhiên $5$ đoàn viên tham gia dọn vệ sinh đài tưởng niệm. Tính xác suất để trong $5$ đoàn viên được chọn có đúng $3$ đoàn viên khối 12.
- Câu 5: Một hộp bút có $5$ bút bi xanh, $4$ bút bi đen và $3$ bút bi đỏ. Bạn An chọn ngẫu nhiên $3$ chiếc bút. Tính xác suất để $3$ chiếc bút được chọn có đủ cả ba màu.