Chuyên Đề Toán 10: Tuyệt Chiêu Giải Bài Toán Xác Suất Cổ Điển

1. Đề bài

Một tổ học tập có 10 học sinh gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường. Hãy tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có ít nhất 2 học sinh nữ.

2. Dạng toán

Bài toán tính xác suất của biến cố liên quan đến quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (Dạng bài: Chọn người/vật với điều kiện cho trước).

3. Phương pháp giải

Để tính xác suất của biến cố $A$ theo định nghĩa cổ điển, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\\Omega)$ (tổng số cách chọn ngẫu nhiên mà không kèm theo điều kiện của biến cố).
• Bước 2: Tính số phần tử của biến cố $A$, ký hiệu là $n(A)$. Tùy vào yêu cầu bài toán, ta có thể dùng phương pháp chia trường hợp trực tiếp hoặc dùng biến cố đối (rất hữu ích khi xuất hiện từ khóa như ‘ít nhất’, ‘tối đa’).
• Bước 3: Tính xác suất theo công thức $P(A) = \\frac{n(A)}{n(\\Omega)}$.

4. Lời giải chi tiết

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 10 học sinh của tổ, số cách chọn là: $n(\\Omega) = C_{10}^4 = 210$ (cách).

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố A

Gọi $A$ là biến cố: ‘Trong 4 học sinh được chọn có ít nhất 2 học sinh nữ’. Ta chia thành 3 trường hợp thỏa mãn:

• Trường hợp 1: Chọn 2 nữ và 2 nam. Số cách chọn là: $C_{4}^2 \\times C_{6}^2 = 6 \\times 15 = 90$ (cách).
• Trường hợp 2: Chọn 3 nữ và 1 nam. Số cách chọn là: $C_{4}^3 \\times C_{6}^1 = 4 \\times 6 = 24$ (cách).
• Trường hợp 3: Chọn 4 nữ và 0 nam. Số cách chọn là: $C_{4}^4 \\times C_{6}^0 = 1 \\times 1 = 1$ (cách).

Vậy số phần tử của biến cố $A$ là: $n(A) = 90 + 24 + 1 = 115$.

(Lưu ý: Các em học sinh cũng có thể dùng biến cố đối $\\overline{A}$ là ‘Chọn 4 học sinh có ít hơn 2 nữ’ gồm 2 TH là 1 nữ 3 nam, hoặc 0 nữ 4 nam để giải sẽ nhanh hơn đôi chút).

Bước 3: Tính xác suất

Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = \\frac{n(A)}{n(\\Omega)} = \\frac{115}{210} = \\frac{23}{42}$.

Đáp số: $P(A) = \\frac{23}{42}$.

5. Bài tập tự luyện

Các em hãy tự áp dụng phương pháp trên để giải 5 bài toán tương tự sau đây nhé:

• Câu 1: Một hộp đựng 7 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tính xác suất để trong 3 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi đỏ.
• Câu 2: Đội học sinh giỏi lớp 10A có 15 bạn, trong đó có 8 bạn nam và 7 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn đi dự hội nghị Đoàn trường. Tính xác suất để 3 bạn được chọn có đúng 2 bạn nữ.
• Câu 3: Một đội văn nghệ có 5 giọng nam và 6 giọng nữ. Cần chọn ra 4 người để hát tốp ca. Tính xác suất để đội hình được chọn có cả giọng nam và giọng nữ.
• Câu 4: Trên một giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 2 quyển sách Hóa (các quyển sách đều khác nhau). Chọn ngẫu nhiên 3 quyển. Tính xác suất để 3 quyển sách lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.
• Câu 5: Một hộp chứa 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ. Tính xác suất để tích hai số ghi trên hai thẻ rút được là một số chẵn.