1. Dạng Toán Và Phương Pháp Giải
Tính đơn điệu của hàm số là một trong những chuyên đề nền tảng, xuất hiện thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia môn Toán 12. Để làm tốt các bài toán nâng cao hơn trong chuyên đề tính đơn điệu của hàm số bậc ba hoặc kỹ thuật tìm tham số m để hàm số đơn điệu, học sinh cần nắm vững phương pháp xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm bậc ba cơ bản không chứa tham số ở mức độ nhận biết và thông hiểu.
Lý thuyết trọng tâm
Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$). Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm là tam thức bậc hai: $y’ = f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(x_1; x_2)$ khi và chỉ khi $y’ \ge 0, \forall x \in (x_1; x_2)$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(x_1; x_2)$ khi và chỉ khi $y’ \le 0, \forall x \in (x_1; x_2)$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).
Quy trình xét tính đơn điệu
- Bước 1: Tính đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Bước 2: Giải phương trình $y’ = 0$ để tìm các nghiệm thực $x_1, x_2$ (nếu có).
- Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm $y’$ (dựa theo quy tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái, ngoài cùng” hoặc nhận xét dấu của hệ số $a$) và rút ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Bài Toán Mẫu Tiêu Biểu
Bài toán: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; +\infty)$.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x$.
Giải phương trình đạo hàm bằng 0:
$$y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned}\right.$$
Xét dấu đạo hàm $y’$:
- Với $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$ thì $y’ > 0$, do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
- Với $x \in (0; 2)$ thì $y’ < 0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
Chọn đáp án A.
3. Tuyển Chọn 5 Bài Toán Tự Luyện Có Lời Giải Chi Tiết
Bài 1: Hàm số $y = -x^3 + 3x + 1$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; 1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$
Xem lời giải chi tiết Bài 1
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = -3x^2 + 3$.
Phương trình đạo hàm bằng 0: $y’ = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Hệ số $a = -3 < 0$. Theo quy tắc trong trái ngoài cùng:
– $y’ > 0$ khi $x \in (-1; 1)$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$.
– $y’ < 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.
Đáp án đúng: B.
Bài 2: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x – 5$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết Bài 2
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = x^2 – 4x + 3$.
Phương trình đạo hàm bằng 0: $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \\ x &= 3 \end{aligned}\right.$$
Xét dấu đạo hàm $y’$:
– $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (1; 3) \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
– $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.
Đáp án đúng: C.
Bài 3: Hàm số $y = x^3 + 3x – 4$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; +\infty)$
B. $(0; +\infty)$
C. $(-\infty; 0)$
D. $(-1; 1)$
Xem lời giải chi tiết Bài 3
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3x^2 + 3$.
Ta thấy $3x^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow y’ = 3x^2 + 3 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Do đạo hàm luôn dương trên $\mathbb{R}$, hàm số đã cho đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$.
Đáp án đúng: A.
Bài 4: Cho hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 – x$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
C. Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$.
D. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết Bài 4
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = -x^2 – 1 = -(x^2 + 1)$.
Vì $x^2 + 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R}$ nên $y’ < 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Vậy hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}$ (hay $(-\infty; +\infty)$).
Đáp án đúng: B.
Bài 5: Khoảng nghịch biến của hàm số $y = 2x^3 – 9x^2 + 12x + 1$ là:
A. $(-\infty; 1)$
B. $(2; +\infty)$
C. $(1; 2)$
D. $(1; +\infty)$
Xem lời giải chi tiết Bài 5
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 6x^2 – 18x + 12$.
Phương trình đạo hàm bằng 0: $y’ = 0 \Leftrightarrow 6(x^2 – 3x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \\ x &= 2 \end{aligned}\right.$$
Bảng xét dấu đạo hàm:
– $y’ < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$.
– $y’ > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 2$, suy ra hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(2; +\infty)$.
Đáp án đúng: C.