Chuyên Đề Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Bậc Ba – Lý Thuyết, Phương Pháp Giải Và Bài Tập Trắc Nghiệm Có Đáp Án

A. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$). Ta có đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$. Tam thức bậc hai $y’$ có biệt thức $\Delta’ = b^2 – 3ac$.

• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$: $\iff y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a > 0 \\ \Delta’ = b^2 – 3ac \le 0 \end{cases}$
• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$: $\iff y’ \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \le 0 \end{cases}$

B. Các bước giải tổng quát bài toán tìm $m$ để hàm số đơn điệu trên khoảng $K$

• Bước 1: Tính đạo hàm $y’ = f'(x, m)$.
• Bước 2: Hàm số đồng biến trên $K \iff y’ \ge 0, \forall x \in K$ (nghịch biến $\iff y’ \le 0, \forall x \in K$).
• Bước 3: Sử dụng phương pháp cô lập tham số $m$ đưa về dạng $m \ge g(x)$ hoặc $m \le g(x)$ trên $K$, sau đó tìm $\max, \min$ của $g(x)$ trên $K$. Nếu không cô lập được $m$, ta sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai hoặc so sánh nghiệm.

2. LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TOÁN MẪU

Bài toán mẫu: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m^2 – 4)x + 3$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định $\mathbb{R}$.

A. $m \in [-2; 2]$
B. $m \in (-2; 2)$
C. $m \le -2$ hoặc $m \ge 2$
D. $m \in \varnothing$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

Ta có đạo hàm: $y’ = x^2 – 2mx + m^2 – 4$.

Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Do hệ số của $x^2$ là $a = 1 > 0$, điều kiện tương đương là:

$$\Delta’ = (-m)^2 – 1 \cdot (m^2 – 4) \le 0 \iff m^2 – m^2 + 4 \le 0 \iff 4 \le 0 \text{ (Vô lý)}$$

Vậy không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D.

3. 5 BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 3x + 1$.

A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; +\infty)$
C. $\mathbb{R}$
D. $(0; 2)$