1. DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vị trí trong đề thi: Cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia môn Toán 12 thường xuất hiện các câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số bậc ba chứa tham số $m$ ở mức độ Nhận biết, Thông hiểu và Vận dụng.
A. Lý thuyết trọng tâm
Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a
eq 0$) có đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \iff y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a > 0 \\ \Delta’ = b^2 – 3ac \le 0 \end{cases}$
- Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \iff y’ \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \le 0 \end{cases}$
B. Phương pháp giải bài toán đơn điệu trên khoảng $(K)$
Để tìm $m$ để hàm số đơn điệu trên một khoảng $K = (a; b)$ cho trước, ta có 2 phương pháp chính:
- Phương pháp 1 (Cô lập tham số $m$): Biến đổi bất phương trình $y’ \ge 0$ (hoặc $y’ \le 0$) về dạng $g(m) \ge f(x)$ hoặc $g(m) \le f(x)$ với mọi $x \in K$. Khi đó:
- $g(m) \ge f(x), \forall x \in K \iff g(m) \ge \max_{K} f(x)$
- $g(m) \le f(x), \forall x \in K \iff g(m) \le \min_{K} f(x)$
- Phương pháp 2 (Sử dụng dấu của tam thức bậc hai): Áp dụng định lý về dấu tam thức bậc hai và so sánh các nghiệm của $y’ = 0$ với các đầu khoảng của $K$.
2. LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TOÁN MẪU
Bài toán mẫu: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m+2)x – 5$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.
A. $m \le 2$ B. $m \ge -1$ C. $-1 \le m \le 2$ D. $m \le -1$
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = x^2 – 2mx + m + 2$.
Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$ khi và chỉ khi $y’ \ge 0, \forall x \in (0; +\infty)$.
$$\iff x^2 – 2mx + m + 2 \ge 0, \forall x > 0$$
$$\iff x^2 + 2 \ge m(2x – 1), \forall x > 0$$
+ Trường hợp 1: Nếu $\Delta’ = m^2 – (m+2) = m^2 – m – 2 \le 0 \iff -1 \le m \le 2$, khi đó $y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$, suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên chắc chắn đồng biến trên $(0; +\infty)$.
+ Trường hợp 2: Ta xét cô lập $m$ trực tiếp: Với $x > 0$, bất phương trình $y’ \ge 0$ đúng với mọi $x > 0$. Xét trường hợp $m \le 2$, kiểm tra lại ta thấy với mọi $m \le 2$ thì $y’ \ge 0$ luôn thỏa mãn trên $(0; +\infty)$.
Cụ thể, xét $m \le 2$:
Nếu $m \le -1 \implies \Delta’ \ge 0$, hai nghiệm $x_1, x_2$ của $y’=0$ thỏa mãn $x_1 + x_2 = 2m \le -2 < 0$ và $x_1 x_2 = m+2$. Nếu $m \le -1$ thì hai nghiệm đều nhỏ hơn hoặc bằng 0, do đó $y' \ge 0, \forall x > 0$.
Kết hợp lại ta được $m \le 2$.
Đáp án đúng: A
3. 5 BÀI TOÁN LUYỆN TẬP VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 3(m^2-1)x + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m = 0$
B. $-1 \le m \le 1$
C. $m \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$
D. Không tồn tại $m$