Kỹ Thuật Tìm Tham Số m Để Hàm Số Bậc Ba Đơn Điệu Trên Khoảng Cho Trước – Trắc Nghiệm Toán 12

A. Lý thuyết trọng tâm

Cho hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a
eq 0$) có đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.

• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \iff y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a > 0 \\ \Delta’ = b^2 – 3ac \le 0 \end{cases}$
• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \iff y’ \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \le 0 \end{cases}$

B. Phương pháp giải bài toán đơn điệu trên khoảng $(K)$

Để tìm $m$ để hàm số đơn điệu trên một khoảng $K = (a; b)$ cho trước, ta có 2 phương pháp chính:

• Phương pháp 1 (Cô lập tham số $m$): Biến đổi bất phương trình $y’ \ge 0$ (hoặc $y’ \le 0$) về dạng $g(m) \ge f(x)$ hoặc $g(m) \le f(x)$ với mọi $x \in K$. Khi đó:
  • $g(m) \ge f(x), \forall x \in K \iff g(m) \ge \max_{K} f(x)$
  • $g(m) \le f(x), \forall x \in K \iff g(m) \le \min_{K} f(x)$
• Phương pháp 2 (Sử dụng dấu của tam thức bậc hai): Áp dụng định lý về dấu tam thức bậc hai và so sánh các nghiệm của $y’ = 0$ với các đầu khoảng của $K$.

2. LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TOÁN MẪU

Bài toán mẫu: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m+2)x – 5$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.

A. $m \le 2$        B. $m \ge -1$        C. $-1 \le m \le 2$        D. $m \le -1$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y’ = x^2 – 2mx + m + 2$.

Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$ khi và chỉ khi $y’ \ge 0, \forall x \in (0; +\infty)$.

$$\iff x^2 – 2mx + m + 2 \ge 0, \forall x > 0$$

$$\iff x^2 + 2 \ge m(2x – 1), \forall x > 0$$

+ Trường hợp 1: Nếu $\Delta’ = m^2 – (m+2) = m^2 – m – 2 \le 0 \iff -1 \le m \le 2$, khi đó $y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$, suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên chắc chắn đồng biến trên $(0; +\infty)$.

+ Trường hợp 2: Ta xét cô lập $m$ trực tiếp: Với $x > 0$, bất phương trình $y’ \ge 0$ đúng với mọi $x > 0$. Xét trường hợp $m \le 2$, kiểm tra lại ta thấy với mọi $m \le 2$ thì $y’ \ge 0$ luôn thỏa mãn trên $(0; +\infty)$.

Cụ thể, xét $m \le 2$:

Nếu $m \le -1 \implies \Delta’ \ge 0$, hai nghiệm $x_1, x_2$ của $y’=0$ thỏa mãn $x_1 + x_2 = 2m \le -2 < 0$ và $x_1 x_2 = m+2$. Nếu $m \le -1$ thì hai nghiệm đều nhỏ hơn hoặc bằng 0, do đó $y' \ge 0, \forall x > 0$.

Kết hợp lại ta được $m \le 2$.

Đáp án đúng: A

3. 5 BÀI TOÁN LUYỆN TẬP VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 3(m^2-1)x + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

A. $m = 0$
B. $-1 \le m \le 1$
C. $m \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$
D. Không tồn tại $m$

Xem lời giải chi tiết Bài 1

Quảng cáo AdSense - Cuối bài viết / Trang Mở file functions.php (tìm hàm bt_adsense_bottom) để dán mã AdSense thật.