1. Dạng Toán Và Phương Pháp Giải
Dạng toán tính đơn điệu của hàm số bậc ba là một trong những chủ đề xuất hiện phổ biến và chiếm tỉ trọng điểm số quan trọng trong các đề thi THPT Quốc Gia môn Toán 12. Để làm tốt các bài toán trắc nghiệm dạng này, học sinh cần nắm vững cả lý thuyết cơ bản và phương pháp xử lý với tham số.
Lý thuyết trọng tâm
Cho hàm số bậc ba tổng quát: $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (với $a \neq 0$).
Đạo hàm của hàm số: $y’ = f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Đây là một tam thức bậc hai có $\Delta’ = b^2 – 3ac$.
- Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$: $\iff y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a > 0 \\ \Delta’ = b^2 – 3ac \le 0 \end{cases}$
- Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$: $\iff y’ \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \le 0 \end{cases}$
Lưu ý: Nếu hệ số $a$ có chứa tham số $m$, ta phải xét thêm trường hợp $a = 0$ để tránh bỏ sót nghiệm.
Phương pháp giải tổng quát
Bước 1: Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$.
Bước 2: Nếu bài toán yêu cầu đơn điệu trên khoảng $\mathbb{R}$, áp dụng điều kiện về dấu của tam thức bậc hai $\Delta’ \le 0$. Nếu bài toán yêu cầu đơn điệu trên khoảng $(k; +\infty)$ hoặc $(-\infty; k)$, ta có thể sử dụng phương pháp cô lập tham số $m$ rồi tìm $Min/Max$ của hàm số trên khoảng đó.
Bước 3: Kết hợp các điều kiện và chọn đáp án trắc nghiệm chính xác.
2. Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Mẫu
Bài toán mẫu: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – (m-1)x^2 + (m^2 – 3m + 2)x + 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m \le 1$
B. $m \ge 2$
C. $m \le 1$ hoặc $m \ge 2$
D. Không có giá trị $m$ thỏa mãn
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có đạo hàm: $y’ = x^2 – 2(m-1)x + (m^2 – 3m + 2)$.
Đạo hàm là một tam thức bậc hai có hệ số $a = 1 > 0$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Điều này tương đương với: $\Delta’ \le 0$
$$\iff (m-1)^2 – 1 \cdot (m^2 – 3m + 2) \le 0$$
$$\iff m^2 – 2m + 1 – m^2 + 3m – 2 \le 0$$
$$\iff m – 1 \le 0 \iff m \le 1$$
Vậy giá trị cần tìm là $m \le 1$. Chọn đáp án A.
3. 5 Bài Toán Luyện Tập Tương Tự Về Đơn Điệu Hàm Bậc Ba
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 + mx^2 – (2m+3)x + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
A. $-3 \le m \le -1$
B. $-1 \le m \le 3$
C. $m \le -1$ hoặc $m \ge 3$
D. $-3 < m < -1$