Các Bài Toán Trắc Nghiệm Về Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Bậc Ba – Toán 12

Lý thuyết trọng tâm

Cho hàm số bậc ba tổng quát: $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (với $a \neq 0$).

Đạo hàm của hàm số: $y’ = f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Đây là một tam thức bậc hai có $\Delta’ = b^2 – 3ac$.

• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$: $\iff y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a > 0 \\ \Delta’ = b^2 – 3ac \le 0 \end{cases}$
• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$: $\iff y’ \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \le 0 \end{cases}$

Lưu ý: Nếu hệ số $a$ có chứa tham số $m$, ta phải xét thêm trường hợp $a = 0$ để tránh bỏ sót nghiệm.

Phương pháp giải tổng quát

Bước 1: Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$.

Bước 2: Nếu bài toán yêu cầu đơn điệu trên khoảng $\mathbb{R}$, áp dụng điều kiện về dấu của tam thức bậc hai $\Delta’ \le 0$. Nếu bài toán yêu cầu đơn điệu trên khoảng $(k; +\infty)$ hoặc $(-\infty; k)$, ta có thể sử dụng phương pháp cô lập tham số $m$ rồi tìm $Min/Max$ của hàm số trên khoảng đó.

Bước 3: Kết hợp các điều kiện và chọn đáp án trắc nghiệm chính xác.

2. Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Mẫu

Bài toán mẫu: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – (m-1)x^2 + (m^2 – 3m + 2)x + 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A. $m \le 1$
B. $m \ge 2$
C. $m \le 1$ hoặc $m \ge 2$
D. Không có giá trị $m$ thỏa mãn

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có đạo hàm: $y’ = x^2 – 2(m-1)x + (m^2 – 3m + 2)$.

Đạo hàm là một tam thức bậc hai có hệ số $a = 1 > 0$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y’ \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Điều này tương đương với: $\Delta’ \le 0$

$$\iff (m-1)^2 – 1 \cdot (m^2 – 3m + 2) \le 0$$

$$\iff m^2 – 2m + 1 – m^2 + 3m – 2 \le 0$$

$$\iff m – 1 \le 0 \iff m \le 1$$

Vậy giá trị cần tìm là $m \le 1$. Chọn đáp án A.

3. 5 Bài Toán Luyện Tập Tương Tự Về Đơn Điệu Hàm Bậc Ba

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 + mx^2 – (2m+3)x + 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

A. $-3 \le m \le -1$
B. $-1 \le m \le 3$
C. $m \le -1$ hoặc $m \ge 3$
D. $-3 < m < -1$

Xem lời giải chi tiết Bài 1

Quảng cáo AdSense - Cuối bài viết / Trang Mở file functions.php (tìm hàm bt_adsense_bottom) để dán mã AdSense thật.