1. Đề bài gốc trích xuất từ hình ảnh
Dưới đây là nội dung câu hỏi được trích xuất chính xác từ hình ảnh:
Câu 3. Hàm số $F(x) = 5x^3$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. $f_2(x) = 5x^2$.
B. $f_3(x) = 15x^2$.
C. $f_4(x) = 5x^4$.
D. $f_1(x) = \dfrac{5x^4}{4}$.
2. Dạng toán và Chủ đề
- Chủ đề: Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng (Giải tích Toán 12).
- Dạng toán: Xác định hàm số $f(x)$ khi biết một nguyên hàm $F(x)$ của nó (áp dụng trực tiếp định nghĩa nguyên hàm thông qua phép tính đạo hàm).
3. Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Định nghĩa nguyên hàm:
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$. Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(a; b)$ nếu với mọi $x \in (a; b)$, ta có:
$$F'(x) = f(x)$$
Phương pháp giải bài toán:
- Bước 1: Xác định hàm số nguyên hàm $F(x)$ đã cho trong đề bài.
- Bước 2: Lấy đạo hàm của $F(x)$ theo biến $x$, tức là tính $F'(x)$ bằng các quy tắc đạo hàm cơ bản ($(x^n)’ = n x^{n-1}$, $(c \cdot u)’ = c \cdot u’$,…).
- Bước 3: Đồng nhất kết quả $f(x) = F'(x)$ với các phương án lựa chọn để chọn đáp án đúng.
4. Lời giải chi tiết bài toán trong hình ảnh
Theo định nghĩa nguyên hàm, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thì:
$$f(x) = F'(x)$$
Áp dụng vào bài toán với $F(x) = 5x^3$, ta tính đạo hàm của $F(x)$:
$$F'(x) = (5x^3)’ = 5 \cdot (x^3)’ = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$$
Do đó, $f(x) = 15x^2 = f_3(x)$.
Chọn đáp án B.
5. Hệ thống 5 bài toán tương tự rèn luyện có lời giải chi tiết
Bài tập 1 (Nhận biết):
Đề bài: Hàm số $F(x) = 2x^4 – 3x^2 + 1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. $f(x) = 8x^3 – 6x$.
B. $f(x) = \dfrac{x^5}{5} – x^3 + x$.
C. $f(x) = 8x^3 – 6x + 1$.
D. $f(x) = 2x^3 – 3x$.
Xem lời giải chi tiết Bài 1
Theo định nghĩa nguyên hàm, ta có $f(x) = F'(x)$.
Tính đạo hàm của $F(x)$:
$$F'(x) = (2x^4 – 3x^2 + 1)’ = 2 \cdot 4x^3 – 3 \cdot 2x + 0 = 8x^3 – 6x$$
Vậy hàm số cần tìm là $f(x) = 8x^3 – 6x$.
Chọn đáp án A.
Bài tập 2 (Hàm lượng giác):
Đề bài: Hàm số $F(x) = \sin(3x) + 2\cos(x)$ là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. $f(x) = 3\cos(3x) – 2\sin(x)$.
B. $f(x) = \cos(3x) – 2\sin(x)$.
C. $f(x) = -3\cos(3x) + 2\sin(x)$.
D. $f(x) = -\dfrac{1}{3}\cos(3x) + 2\sin(x)$.
Xem lời giải chi tiết Bài 2
Ta có $f(x) = F'(x)$.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm lượng giác hợp $(\sin(ax))’ = a\cos(ax)$ và $(\cos(x))’ = -\sin(x)$:
$$F'(x) = (\sin(3x) + 2\cos(x))’ = 3\cos(3x) – 2\sin(x)$$
Vậy $f(x) = 3\cos(3x) – 2\sin(x)$.
Chọn đáp án A.
Bài tập 3 (Hàm mũ và logarit):
Đề bài: Cho hàm số $F(x) = e^{2x} + \ln(x)$ (với $x > 0$). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{2x} + \dfrac{1}{x}$.
B. $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2e^{2x} + \dfrac{1}{x}$.
C. $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + \dfrac{1}{x^2}$.
D. $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2e^{2x} – \dfrac{1}{x^2}$.
Xem lời giải chi tiết Bài 3
Ta có $f(x) = F'(x)$.
Tính đạo hàm của $F(x)$:
$$F'(x) = (e^{2x})’ + (\ln(x))’ = 2e^{2x} + \dfrac{1}{x}$$
Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = 2e^{2x} + \dfrac{1}{x}$.
Chọn đáp án B.
Bài tập 4 (Hàm phân thức và căn thức):
Đề bài: Hàm số $F(x) = \sqrt{2x + 1} – \dfrac{1}{x}$ (với $x > 0$) là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. $f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}} + \dfrac{1}{x^2}$.
B. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} – \dfrac{1}{x^2}$.
C. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} + \dfrac{1}{x^2}$.
D. $f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{2x+1}} + \dfrac{1}{x^2}$.
Xem lời giải chi tiết Bài 4
Theo định nghĩa, $f(x) = F'(x)$.
Ta tính đạo hàm từng thành phần:
$$(\sqrt{2x+1})’ = \dfrac{(2x+1)’}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$$$$\left(-\dfrac{1}{x}\right)’ = -\left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{1}{x^2}$$
Suy ra:
$$F'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} + \dfrac{1}{x^2}$$
Chọn đáp án C.
Bài tập 5 (Hàm tích $u \cdot v$):
Đề bài: Biết $F(x) = (2x – 1)e^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Tìm biểu thức của $f(x)$.
A. $f(x) = 2e^x$.
B. $f(x) = (2x + 1)e^x$.
C. $f(x) = (2x – 3)e^x$.
D. $f(x) = (2x – 1)e^x$.
Xem lời giải chi tiết Bài 5
Hàm số $f(x) = F'(x)$.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích $(u \cdot v)’ = u’v + uv’$ với $u = 2x – 1$ và $v = e^x$:
$$u’ = 2, \quad v’ = e^x$$$$F'(x) = 2 \cdot e^x + (2x – 1) \cdot e^x = (2 + 2x – 1)e^x = (2x + 1)e^x$$
Vậy $f(x) = (2x + 1)e^x$.
Chọn đáp án B.