Đề bài
Đơn giản biểu thức: $ \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} – \sin x \cos x $
Phương pháp
Phương pháp: áp dụng công thức tổng/lũy thừa bậc ba và đồng nhất Pythagoras $\sin^2 x+\cos^2 x=1$.
Lời giải
Bước 1: Nhận thấy tử số là tổng lập phương: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ với $a=\sin x$, $b=\cos x$.
Bước 2: $\sin^3 x+\cos^3 x = (\sin x+\cos x)(\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x)$.
Bước 3: Dùng $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ → $\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x = 1-\sin x\cos x$.
Bước 4: Do đó $\frac{\sin^3 x+\cos^3 x}{\sin x+\cos x}=1-\sin x\cos x$ (điều kiện $\sin x+\cos x\neq0$).
Bước 5: Thay vào biểu thức ban đầu: $(1-\sin x\cos x)-\sin x\cos x = 1-2\sin x\cos x$.
Bước 6: Nhớ $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ → biểu thức đơn giản thành $1-\sin 2x$.
Kết quả: $\boxed{1-\sin 2x}$.
5 câu tương tự (bấm để xem lời giải)
Câu 1: Đơn giản: $ \frac{\sin^3 x – \cos^3 x}{\sin x – \cos x} + \sin x \cos x $
Lời giải: Bước 1: Hiệu lập phương: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ với $a=\sin x$, $b=\cos x$.
Bước 2: $\sin^3 x-\cos^3 x = (\sin x-\cos x)(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x)$.
Bước 3: Dùng $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ → $\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x = 1+\sin x\cos x$.
Bước 4: Phân số đơn giản thành $1+\sin x\cos x$ (điều kiện $\sin x-\cos x\neq0$).
Bước 5: Cộng $\sin x\cos x$ → $1+2\sin x\cos x = 1+\sin 2x$.
Kết quả: $\boxed{1+\sin 2x}$.
Bước 2: $\sin^3 x-\cos^3 x = (\sin x-\cos x)(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x)$.
Bước 3: Dùng $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ → $\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x = 1+\sin x\cos x$.
Bước 4: Phân số đơn giản thành $1+\sin x\cos x$ (điều kiện $\sin x-\cos x\neq0$).
Bước 5: Cộng $\sin x\cos x$ → $1+2\sin x\cos x = 1+\sin 2x$.
Kết quả: $\boxed{1+\sin 2x}$.
Câu 2: Đơn giản: $ \frac{\tan^2 x – 1}{\tan^2 x + 1} $
Lời giải: Bước 1: Viết $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ → $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
Bước 2: Tử số: $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-1 = \frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\cos^2 x}$.
Bước 3: Mẫu số: $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+1 = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Bước 4: Phân số = $\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\cos^2 x} \div \frac{1}{\cos^2 x} = \sin^2 x-\cos^2 x$.
Bước 5: Dùng $\sin^2 x-\cos^2 x = -(\cos^2 x-\sin^2 x) = -\cos 2x$.
Kết quả: $\boxed{-\cos 2x}$.
Bước 2: Tử số: $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-1 = \frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\cos^2 x}$.
Bước 3: Mẫu số: $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+1 = \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Bước 4: Phân số = $\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\cos^2 x} \div \frac{1}{\cos^2 x} = \sin^2 x-\cos^2 x$.
Bước 5: Dùng $\sin^2 x-\cos^2 x = -(\cos^2 x-\sin^2 x) = -\cos 2x$.
Kết quả: $\boxed{-\cos 2x}$.
Câu 3: Đơn giản: $ \frac{1-\sin 2x}{\cos^2 x} $
Lời giải: Bước 1: Nhớ $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ → tử số $1-2\sin x\cos x$.
Bước 2: Dùng $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ → $1-2\sin x\cos x = \sin^2 x -2\sin x\cos x+\cos^2 x = (\sin x-\cos x)^2$.
Bước 3: Do đó biểu thức = $\frac{(\sin x-\cos x)^2}{\cos^2 x} = \left(\frac{\sin x}{\cos x}-1\right)^2 = (\tan x-1)^2$.
Kết quả: $\boxed{(\tan x-1)^2}$.
Bước 2: Dùng $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ → $1-2\sin x\cos x = \sin^2 x -2\sin x\cos x+\cos^2 x = (\sin x-\cos x)^2$.
Bước 3: Do đó biểu thức = $\frac{(\sin x-\cos x)^2}{\cos^2 x} = \left(\frac{\sin x}{\cos x}-1\right)^2 = (\tan x-1)^2$.
Kết quả: $\boxed{(\tan x-1)^2}$.
Câu 4: Đơn giản: $ \sec^2 x – \tan^2 x $
Lời giải: Bước 1: Nhớ đồng nhất Pythagoras: $1+\tan^2 x = \sec^2 x$.
Bước 2: Trừ $\tan^2 x$ từ hai vế → $\sec^2 x – \tan^2 x = 1$.
Kết quả: $\boxed{1}$.
Bước 2: Trừ $\tan^2 x$ từ hai vế → $\sec^2 x – \tan^2 x = 1$.
Kết quả: $\boxed{1}$.
Câu 5: Đơn giản: $ (\sin x + \cos x)^2 + (\sin x – \cos x)^2 $
Lời giải: Bước 1: Mở rộng mỗi bình phương:
$(\sin x+\cos x)^2 = \sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x$,
$(\sin x-\cos x)^2 = \sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x$.
Bước 2: Cộng hai biểu thức → $2\sin^2 x+2\cos^2 x = 2(\sin^2 x+\cos^2 x)$.
Bước 3: Dùng $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ → kết quả $2$.
Kết quả: $\boxed{2}$.
$(\sin x+\cos x)^2 = \sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x$,
$(\sin x-\cos x)^2 = \sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x$.
Bước 2: Cộng hai biểu thức → $2\sin^2 x+2\cos^2 x = 2(\sin^2 x+\cos^2 x)$.
Bước 3: Dùng $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ → kết quả $2$.
Kết quả: $\boxed{2}$.