1. Dạng toán và Vị trí trong đề thi THPT Quốc Gia
Tính đơn điệu của hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) là một trong những chủ đề nền tảng, xuất hiện thường xuyên ở các câu hỏi nhận biết và thông hiểu trong đề thi Tốt nghiệp THPT môn Toán. Nắm vững dạng toán này giúp học sinh giành trọn vẹn điểm số phần khởi động trước khi bước vào các dạng toán chứa tham số m phức tạp hơn.
2. Lý thuyết trọng tâm và Phương pháp giải nhanh
a. Cơ sở lý thuyết
Cho hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ xác định trên $\mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $y’ = f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b) \Leftrightarrow y’ \ge 0, \forall x \in (a; b)$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(a; b) \Leftrightarrow y’ \le 0, \forall x \in (a; b)$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).
b. Các bước giải toán không chứa tham số m
- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số ($D = \mathbb{R}$).
- Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Bước 3: Giải phương trình $y’ = 0$ để tìm các nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ (nếu có).
- Bước 4: Xét dấu của tam thức bậc hai $y’$ theo quy tắc: “Trong trái – ngoài cùng” với dấu của hệ số $a$. Lập bảng xét dấu hoặc quan sát nhanh để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bạn có thể tham khảo thêm tuyển tập các bài toán trắc nghiệm tính đơn điệu hàm bậc ba để ôn luyện thêm.
3. Bài toán mẫu và Hướng dẫn giải chi tiết
Bài toán mẫu: Hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\infty; 0)$
B. $(0; 2)$
C. $(2; +\infty)$
D. $(0; +\infty)$
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 3x^2 – 6x$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x = 0 \\ &x = 2\end{aligned}\right.$.
Xét dấu đạo hàm $y’$:
- $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (0; 2)$.
- $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ và đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
Chọn đáp án B.
4. Hệ thống 5 bài toán luyện tập có lời giải chi tiết
Dưới đây là 5 bài tập tương tự được trích từ đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc, xem thêm tại chuyên đề tính đơn điệu hàm bậc ba để nắm chắc phương pháp.
Bài 1
Hàm số $y = -x^3 + 3x – 5$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; 1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$
Xem lời giải chi tiết Bài 1
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = -3x^2 + 3$.
Phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Hệ số $a = -3 < 0$, áp dụng quy tắc trong trái ngoài cùng:
- $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 1)$.
- $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$.
Chọn đáp án B.
Bài 2
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$?
A. $y = x^3 + 3x^2 + 1$
B. $y = x^3 + 3x + 2$
C. $y = -x^3 – 3x + 4$
D. $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 5$
Xem lời giải chi tiết Bài 2
Để hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $a > 0$ và $\Delta_{y’} \le 0$.
- Với đáp án B: $y = x^3 + 3x + 2 \Rightarrow y’ = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Với đáp án A: $y’ = 3x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow x=0, x=-2$ (có khoảng đồng biến, nghịch biến riêng).
- Với đáp án C: $a = -1 < 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- Với đáp án D: $y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x-1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Lưu ý rằng hàm số này cũng đồng biến trên $\mathbb{R}$. Tuy nhiên, xét các đề chuẩn thông hiểu trắc nghiệm, xét phương án trực tiếp với $y’ > 0$ hiển nhiên ta có $y’ = 3x^2 + 3 > 0$.
Chọn đáp án B.
Bài 3
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3; +\infty)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 3)$.
Xem lời giải chi tiết Bài 3
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = x^2 – 4x + 3$.
Giải phương trình: $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x = 1 \\ &x = 3\end{aligned}\right.$.
Bảng xét dấu $y’$:
- $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (1; 3) \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(1; 3)$.
- $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.
Chọn đáp án A.
Bài 4
Hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 – x + 2$ nghịch biến trên tập hợp nào?
A. $(-\infty; 1)$
B. $(1; +\infty)$
C. $\mathbb{R}$
D. $(0; 2)$
Xem lời giải chi tiết Bài 4
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = -x^2 + 2x – 1 = -(x^2 – 2x + 1) = -(x – 1)^2$.
Ta thấy $y’ = -(x – 1)^2 \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (tại một điểm duy nhất).
Do đó, hàm số nghịch biến trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}$.
Chọn đáp án C.
Bài 5
Hàm số $y = 2x^3 – 6x$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; 1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(0; 2)$
Xem lời giải chi tiết Bài 5
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Ta có: $y’ = 6x^2 – 6$.
Giải $y’ = 0 \Leftrightarrow 6(x^2 – 1) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Dấu của $y’$:
- $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 1) \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(-1; 1)$.
- $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$.
Chọn đáp án B.