1. Dạng Toán Và Phương Pháp Giải
Trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia môn Toán, các câu hỏi về tính đơn điệu của hàm số bậc ba ở mức độ nhận biết và thông hiểu (không chứa tham số $m$) là dạng bài cơ bản chiếm trọn điểm số của học sinh nếu nắm chắc lý thuyết giải tích 12.
Học sinh có thể ôn lại hệ thống lý thuyết nền tảng tại bài viết Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số bậc ba để củng cố các dạng toán liên quan.
Lý thuyết trọng tâm
- Xét hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) xác định trên $\mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $y’ = f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ khi và chỉ khi $y’ \ge 0, \forall x \in (a; b)$ (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ khi và chỉ khi $y’ \le 0, \forall x \in (a; b)$ (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm).
Quy trình 3 bước xét tính đơn điệu
- Bước 1: Tìm tập xác định (luôn là $D = \mathbb{R}$) và tính đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Bước 2: Giải phương trình $y’ = 0$ để tìm các nghiệm $x_1, x_2$ (nếu có).
- Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm (hoặc ghi nhớ quy tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái, ngoài cùng”) để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Bài Toán Mẫu Minh Họa
Bài toán mẫu: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\infty; 0)$
B. $(0; 2)$
C. $(2; +\infty)$
D. $(0; +\infty)$
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 6x$.
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x = 0\\&x = 2\end{aligned}\right.$.
Xét dấu của tam thức bậc hai $y’ = 3x^2 – 6x$ có hệ số $a = 3 > 0$:
- $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$ $\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.
- $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (0; 2)$ $\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
Chọn đáp án: B.
Để rèn luyện thêm kỹ năng xử lý các bài tập nâng cao có chứa điều kiện, bạn có thể tham khảo thêm kỹ thuật tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu.
3. 5 Bài Tập Tương Tự Có Lời Giải Chi Tiết
Bài 1
Đề bài: Hàm số $y = -x^3 + 3x – 5$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; 1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$
Xem lời giải chi tiết Bài 1
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Ta có $y’ = -3x^2 + 3$.
Giải phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
Do $a = -3 < 0$, theo quy tắc "trong trái ngoài cùng", ta có:
$y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 1)$.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$.
Chọn đáp án: B.
Bài 2
Đề bài: Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 1)$.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(3; +\infty)$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 3)$.
Xem lời giải chi tiết Bài 2
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = x^2 – 4x + 3$.
Giải $y’ = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x = 1\\&x = 3\end{aligned}\right.$.
Xét dấu đạo hàm:
- $y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ $\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.
- $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (1; 3)$ $\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(1; 3)$.
Như vậy khẳng định “Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 3)$” là sai.
Chọn đáp án: D.
Bài 3
Đề bài: Hàm số $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 4$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; -1)$
B. $(-1; +\infty)$
C. $(-\infty; +\infty)$
D. $(0; +\infty)$
Xem lời giải chi tiết Bài 3
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$.
Ta thấy $y’ \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$ (tại một điểm duy nhất).
Do đó hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$ hay $(-\infty; +\infty)$.
Chọn đáp án: C.
Bài 4
Đề bài: Cho hàm số $y = -\dfrac{1}{3}x^3 – x^2 – x + 2026$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
C. Hàm số đồng biến trên $(-1; +\infty)$.
D. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và đồng biến trên $(-1; +\infty)$.
Xem lời giải chi tiết Bài 4
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = -x^2 – 2x – 1 = -(x + 1)^2$.
Ta thấy $y’ \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $y’ = 0 \Leftrightarrow x = -1$.
Theo định lý mở rộng về tính đơn điệu, hàm số nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
Chọn đáp án: A.
Bài 5
Đề bài: Cho hàm số $y = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 1$. Khoảng nghịch biến của hàm số là:
A. $(-1; 2)$
B. $(-\infty; -1)$
C. $(2; +\infty)$
D. $(-2; 1)$
Xem lời giải chi tiết Bài 5
Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y’ = 6x^2 – 6x – 12 = 6(x^2 – x – 2)$.
Giải phương trình $y’ = 0 \Leftrightarrow x^2 – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x = -1\\&x = 2\end{aligned}\right.$.
Tam thức bậc hai $y’$ có hệ số $a = 6 > 0$, suy ra $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in (-1; 2)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 2)$.
Chọn đáp án: A.
Bạn cũng có thể xem trọn bộ các bài toán trắc nghiệm về tính đơn điệu của hàm số bậc ba để ôn tập toàn diện hơn.