Đề bài
Giải phương trình: $2\cos^2 x – 3\cos x + 1 = 0$.
Phương pháp
Đặt $t = \cos x$ với $t \in [-1; 1]$. Giải phương trình bậc hai đối với $t$, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản $\cos x = t$.
Lời giải
Đặt $t = \cos x \Rightarrow t \in [-1; 1]$.
Phương trình thành: $2t^2 – 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow (2t-1)(t-1)=0 \Rightarrow t=1$ hoặc $t=\frac{1}{2}$.
Cả hai giá trị đều thuộc $[-1; 1]$.
1. $\cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Vậy tập nghiệm: $S = \{k2\pi; \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$.
5 câu tương tự (bấm để xem lời giải)
Câu 1: Giải phương trình: $\cos 2x = 1$.
Lời giải: $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Câu 2: Tìm tập nghiệm của phương trình: $\cos 3x = \frac{1}{2}$.
Lời giải: $\cos 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{9} + k\frac{2\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Câu 3: Giải phương trình: $2\cos^2 x + \cos x – 1 = 0$.
Lời giải: Đặt $t=\cos x$. $2t^2+t-1=0 \Rightarrow t=-1$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. $\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+k2\pi$. $\cos x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi$. $S=\{\pi+k2\pi; \pm\frac{\pi}{3}+k2\pi\}$.
Câu 4: Tìm nghiệm của phương trình $\cos x = -1$ trên khoảng $[0; 2\pi]$.
Lời giải: $\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$. Trên $[0; 2\pi]$ chỉ có $x = \pi$.
Câu 5: Giải bất phương trình: $\cos x \ge \frac{1}{2}$.
Lời giải: $\cos x \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \in [-\frac{\pi}{3} + k2\pi; \frac{\pi}{3} + k2\pi], k \in \mathbb{Z}$.