Đề bài
Tập nghiệm của phương trình $\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{x^2 – 6x + 9}\right) = 1$ là:
Phương pháp
Rút gọn biểu thức dưới căn thức thành bình phương, loại bỏ căn bậc hai bằng giá trị tuyệt đối. Sử dụng điều kiện $\cos \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = 2k\pi (k \in \mathbb{Z})$ để giải phương trình lượng giác. Xét điều kiện $k \ge 0$ do giá trị tuyệt đối không âm.
Lời giải
Bước 1: Rút gọn biểu thức trong phương trình.
$x^2 – 6x + 9 = (x-3)^2 \Rightarrow \sqrt{x^2 – 6x + 9} = |x-3|$.
Phương trình trở thành: $\cos\left(\frac{\pi}{3}|x-3|\right) = 1$.
Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản.
$\cos \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Áp dụng: $\frac{\pi}{3}|x-3| = 2k\pi \Leftrightarrow |x-3| = 6k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Bước 3: Xét điều kiện của $k$.
Vì $|x-3| \ge 0$ nên $6k \ge 0 \Rightarrow k \ge 0$. Do đó $k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$.
Bước 4: Tìm $x$.
$|x-3| = 6k \Leftrightarrow \begin{cases} x – 3 = 6k \\ x – 3 = -6k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 + 6k \\ x = 3 – 6k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$.
: Tập nghiệm $S = \{3 + 6k, 3 – 6k \mid k \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$.
5 câu tương tự (bấm để xem lời giải)
Câu 1: Giải phương trình $\cos(\pi\sqrt{x^2 – 4x + 4}) = 1$.
Lời giải: Ta có $\sqrt{x^2 – 4x + 4} = |x-2|$. Phương trình $\Leftrightarrow \cos(\pi|x-2|) = 1 \Leftrightarrow \pi|x-2| = 2k\pi \Leftrightarrow |x-2| = 2k, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. $\Rightarrow x = 2 \pm 2k, k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$.
Câu 2: Tìm tập nghiệm của phương trình $\cos\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{x^2 + 2x + 1}\right) = 1$.
Lời giải: $\sqrt{x^2 + 2x + 1} = |x+1|$. Phương trình $\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2}|x+1|\right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}|x+1| = 2k\pi \Leftrightarrow |x+1| = 4k, k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$. $\Rightarrow x = -1 \pm 4k, k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$.
Câu 3: Giải phương trình $\cos(2\arcsin x) = 1$.
Lời giải: Điều kiện: $x \in [-1, 1]$. Sử dụng công thức $\cos 2\alpha = 1 – 2\sin^2\alpha$. $\cos(2\arcsin x) = 1 – 2x^2$. Phương trình $\Leftrightarrow 1 – 2x^2 = 1 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Thỏa điều kiện. Vậy $S = \{0\}$.
Câu 4: Tìm $m$ để phương trình $\cos^2 x + m\sin x = 1$ có nghiệm $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
Lời giải: Thay $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow \sin x = 1, \cos x = 0$. Phương trình $\Leftrightarrow 0 + m \cdot 1 = 1 \Rightarrow m = 1$.
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình $\cos\left(\frac{\pi}{4}\sqrt{x^2 – 8x + 16}\right) \ge 0$ là gì?
Lời giải: $\sqrt{x^2 – 8x + 16} = |x-4|$. Bất phương trình $\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{4}|x-4|\right) \ge 0$. $\cos \alpha \ge 0 \Leftrightarrow \alpha \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$. Do $|x-4| \ge 0$, ta xét $k \ge 0$. $\frac{\pi}{4}|x-4| \in [0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \cup …$ $\Rightarrow |x-4| \in [0, 2] \cup [6, 10] \cup …$ $\Rightarrow x \in [2, 6] \cup [-6, -2] \cup [10, 14] \cup …$