Đề bài
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$ thuộc khoảng $[-\pi, \pi]$.
Phương pháp
Sử dụng điều kiện nghiệm của phương trình cosine: $cos \alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Thay $\alpha = 2x + \frac{\pi}{3}$, giải phương trình bậc nhất tìm $x$ theo tham số $k$, sau đó chọn $k$ sao cho $x$ nằm trong khoảng yêu cầu.
Lời giải
Bước 1: Phương trình $cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 1$ tương đương với $2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Bước 2: Giải theo $x$: $2x = 2k\pi – \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi – \frac{\pi}{6}$.
Bước 3: Tìm $k$ sao cho $x \in [-\pi, \pi]$.
Ta có: $-\pi \le k\pi – \frac{\pi}{6} \le \pi$.
Cộng $\frac{\pi}{6}$: $-\frac{5\pi}{6} \le k\pi \le \frac{7\pi}{6}$.
Chia cho $\pi$: $-\frac{5}{6} \le k \le \frac{7}{6}$.
Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0, 1\}$.
Bước 4: Thay $k$ tìm nghiệm:
$k = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6}$.
$k = 1 \Rightarrow x = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
: Tập nghiệm $S = \{-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.
5 câu tương tự (bấm để xem lời giải)
Câu 1: Tìm tập nghiệm của phương trình $cos(3x – \frac{\pi}{4}) = 1$ trên khoảng $[0, 2\pi]$.
Điều kiện $x \in [0, 2\pi] \Rightarrow 0 \le \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{12} \le 2\pi \Rightarrow -\frac{1}{8} \le k \le \frac{23}{8} \Rightarrow k \in \{0,1,2\}$.
Nghiệm: $x_1 = \frac{\pi}{12}, x_2 = \frac{3\pi}{4}, x_3 = \frac{17\pi}{12}$.
$S = \{\frac{\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{17\pi}{12}\}$.
Câu 2: Phương trình $cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) = 1$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $[-\pi, 3\pi]$?
Điều kiện $x \in [-\pi, 3\pi] \Rightarrow -\pi \le 4k\pi – \frac{\pi}{3} \le 3\pi \Rightarrow -\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{6} \Rightarrow k = 0$.
Chỉ có 1 nghiệm: $x = -\frac{\pi}{3}$.
Câu 3: Giải phương trình $2cos^2 x – 1 = 1$ trên khoảng $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
Trường hợp 1: $cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi$. Trên khoảng chỉ có $x = 0$ ($k=0$).
Trường hợp 2: $cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2k\pi$. Trên khoảng chỉ có $x = \pi$ ($k=0$).
$S = \{0, \pi\}$.
Câu 4: Tìm $m$ để phương trình $cos(2x) = m$ có nghiệm $x = \frac{\pi}{3}$ và nghiệm đó thuộc $[0, \pi]$.
Kiểm tra: $cos(2x) = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$.
Trên $[0, \pi]$: $x = \frac{\pi}{3}$ ($k=0$), $x = \frac{2\pi}{3}$ ($k=1$ với dấu -). Có nghiệm $x=\frac{\pi}{3}$ thỏa mãn.
Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình $cos(x – \frac{\pi}{3}) \ge 1$ là gì?
$\Leftrightarrow x – \frac{\pi}{3} = 2k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
$S = \{\frac{\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$.