Đề bài
Đơn giản biểu thức: $\dfrac{\sin^2 x – \cos^2 x}{\sin x \cos x} + 2\cot 2x$
Phương pháp
Sử dụng các công thức đồng nhất: $\sin^2 x – \cos^2 x = -\cos 2x$, $\sin x \cos x = \frac12 \sin 2x$, $\cot 2x = \frac{\cos 2x}{\sin 2x}$.
Lời giải
Bước 1: Viết lại tử số và mẫu số:
$\sin^2 x – \cos^2 x = -\cos 2x$
$\sin x \cos x = \frac12 \sin 2x$
Do đó $\dfrac{\sin^2 x – \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \dfrac{-\cos 2x}{\frac12 \sin 2x} = -2\cot 2x$.
Bước 2: Thêm phần $2\cot 2x$:
$-2\cot 2x + 2\cot 2x = 0$.
: Biểu thức đơn giản bằng $0$ (với $x$ không khiến mẫu số bằng 0).
5 câu tương tự (bấm để xem lời giải)
Câu 1: Đơn giản: $\dfrac{1-\sin 2x}{\cos^2 x} + \tan x$
Lời giải: Bước 1: Viết $1-\sin 2x = (\sin x – \cos x)^2$.
$\cos^2 x$ giữ nguyên.
Do đó $\dfrac{(\sin x – \cos x)^2}{\cos^2 x} = \left(\dfrac{\sin x – \cos x}{\cos x}\right)^2 = (\tan x -1)^2$.
Bước 2: Cộng $\tan x$: $(\tan x -1)^2 + \tan x = \tan^2 x -2\tan x +1 + \tan x = \tan^2 x – \tan x +1$.
Kết quả: $\boxed{\tan^2 x – \tan x +1}$.
$\cos^2 x$ giữ nguyên.
Do đó $\dfrac{(\sin x – \cos x)^2}{\cos^2 x} = \left(\dfrac{\sin x – \cos x}{\cos x}\right)^2 = (\tan x -1)^2$.
Bước 2: Cộng $\tan x$: $(\tan x -1)^2 + \tan x = \tan^2 x -2\tan x +1 + \tan x = \tan^2 x – \tan x +1$.
Kết quả: $\boxed{\tan^2 x – \tan x +1}$.
Câu 2: Đơn giản: $\dfrac{\sin x}{1+\cos x} + \dfrac{1+\cos x}{\sin x}$
Lời giải: Bước 1: Đặt chung mẫu số: $(1+\cos x)\sin x$.
Tử số: $\sin^2 x + (1+\cos x)^2 = \sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x+\cos^2 x) +1 +2\cos x = 2+2\cos x = 2(1+\cos x)$.
Do đó biểu thức = $\dfrac{2(1+\cos x)}{(1+\cos x)\sin x} = \dfrac{2}{\sin x} = 2\csc x$.
Tử số: $\sin^2 x + (1+\cos x)^2 = \sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x+\cos^2 x) +1 +2\cos x = 2+2\cos x = 2(1+\cos x)$.
Do đó biểu thức = $\dfrac{2(1+\cos x)}{(1+\cos x)\sin x} = \dfrac{2}{\sin x} = 2\csc x$.
Câu 3: Đơn giản: $\dfrac{\tan x – \cot x}{\tan x + \cot x}$
Lời giải: Bước 1: Viết $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Tử số: $\frac{\sin x}{\cos x} – \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x – \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -\frac{\cos 2x}{\frac12\sin 2x} = -2\cot 2x$.
Mẫu số: $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
Do đó biểu thức = $\dfrac{-2\cot 2x}{\frac{2}{\sin 2x}} = -\cot 2x \cdot \sin 2x = -\cos 2x$.
Tử số: $\frac{\sin x}{\cos x} – \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x – \cos^2 x}{\sin x \cos x} = -\frac{\cos 2x}{\frac12\sin 2x} = -2\cot 2x$.
Mẫu số: $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
Do đó biểu thức = $\dfrac{-2\cot 2x}{\frac{2}{\sin 2x}} = -\cot 2x \cdot \sin 2x = -\cos 2x$.
Câu 4: Đơn giản: $\dfrac{\sin 3x}{\sin x} – \dfrac{\cos 3x}{\cos x}$
Lời giải: Bước 1: Dùng công thức bội góc: $\sin 3x = 3\sin x -4\sin^3 x$, $\cos 3x = 4\cos^3 x -3\cos x$.
Do đó $\dfrac{\sin 3x}{\sin x} = 3 -4\sin^2 x$, $\dfrac{\cos 3x}{\cos x} = 4\cos^2 x -3$.
Trừ: $(3-4\sin^2 x) – (4\cos^2 x -3) = 3-4\sin^2 x -4\cos^2 x +3 = 6 -4(\sin^2 x+\cos^2 x) = 6-4 = 2$.
Do đó $\dfrac{\sin 3x}{\sin x} = 3 -4\sin^2 x$, $\dfrac{\cos 3x}{\cos x} = 4\cos^2 x -3$.
Trừ: $(3-4\sin^2 x) – (4\cos^2 x -3) = 3-4\sin^2 x -4\cos^2 x +3 = 6 -4(\sin^2 x+\cos^2 x) = 6-4 = 2$.
Câu 5: Đơn giản: $\dfrac{1}{\sin x + \cos x} + \dfrac{1}{\sin x – \cos x}$
Lời giải: Bước 1: Đặt chung mẫu số: $(\sin x + \cos x)(\sin x – \cos x) = \sin^2 x – \cos^2 x = -\cos 2x$.
Tử số: $(\sin x – \cos x) + (\sin x + \cos x) = 2\sin x$.
Do đó biểu thức = $\dfrac{2\sin x}{-\cos 2x} = -2\dfrac{\sin x}{\cos 2x}$.
Sử dụng $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ hoặc $2\cos^2 x-1$ tùy chọn; ta có thể viết dưới dạng $-2\sec 2x \sin x$.
Tử số: $(\sin x – \cos x) + (\sin x + \cos x) = 2\sin x$.
Do đó biểu thức = $\dfrac{2\sin x}{-\cos 2x} = -2\dfrac{\sin x}{\cos 2x}$.
Sử dụng $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ hoặc $2\cos^2 x-1$ tùy chọn; ta có thể viết dưới dạng $-2\sec 2x \sin x$.