Đề bài
Giải phương trình: $2\cos^2 x – 3\cos x + 1 = 0$.
Phương pháp
Đặt $t = \cos x$ với $t \in [-1; 1]$. Giải phương trình bậc hai theo $t$, sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản $\cos x = t$ và hợp nhất tập nghiệm.
Lời giải
Bước 1: Đặt $t = \cos x \Rightarrow t \in [-1; 1]$.
Phương trình trở thành: $2t^2 – 3t + 1 = 0$.
Bước 2: Giải phương trình bậc hai: $\Delta = 9 – 8 = 1$.
$t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$, $t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$.
Cả hai nghiệm đều thuộc $[-1; 1]$.
Bước 3: Quay về biến $x$:
$\[ \begin{cases} \cos x = 1 \\ \cos x = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2k\pi \\ x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]$
: Tập nghiệm $S = \{ 2k\pi; \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
5 câu tương tự (bấm để xem lời giải)
Câu 1: Giải phương trình: $\sin^2 x – 2\sin x – 3 = 0$.
Lời giải: Đặt $t = \sin x \in [-1; 1]$. PT: $t^2 – 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow (t-3)(t+1)=0 \Rightarrow t=3$ (loại) hoặc $t=-1$.
$\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Tập nghiệm: $S = \{ -\frac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
$\sin x = -1 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Tập nghiệm: $S = \{ -\frac{\pi}{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
Câu 2: Giải phương trình: $\cos 2x + 3\cos x + 1 = 0$.
Lời giải: Sử dụng công thức $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$.
PT $\Leftrightarrow 2\cos^2 x – 1 + 3\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x(2\cos x + 3) = 0$.
$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
$2\cos x + 3 = 0 \Rightarrow \cos x = -1.5$ (vô nghiệm).
Tập nghiệm: $S = \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
PT $\Leftrightarrow 2\cos^2 x – 1 + 3\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x(2\cos x + 3) = 0$.
$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
$2\cos x + 3 = 0 \Rightarrow \cos x = -1.5$ (vô nghiệm).
Tập nghiệm: $S = \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
Câu 3: Tìm nghiệm của phương trình $\tan^2 x – 3\tan x + 2 = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.
Lời giải: Đặt $t = \tan x$. PT: $t^2 – 3t + 2 = 0 \Rightarrow t=1$ hoặc $t=2$.
$\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Trên $[0; 2\pi]$: $x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{5\pi}{4}$.
$\tan x = 2 \Rightarrow x = \arctan 2 + k\pi$. Trên $[0; 2\pi]$: $x_3 = \arctan 2, x_4 = \pi + \arctan 2$.
Tập nghiệm: $S = \{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \arctan 2, \pi + \arctan 2 \}$.
$\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$. Trên $[0; 2\pi]$: $x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{5\pi}{4}$.
$\tan x = 2 \Rightarrow x = \arctan 2 + k\pi$. Trên $[0; 2\pi]$: $x_3 = \arctan 2, x_4 = \pi + \arctan 2$.
Tập nghiệm: $S = \{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \arctan 2, \pi + \arctan 2 \}$.
Câu 4: Giải phương trình: $2\sin^2 x – \sin x – 1 = 0$.
Lời giải: Đặt $t = \sin x \in [-1; 1]$. PT: $2t^2 – t – 1 = 0 \Rightarrow t=1$ hoặc $t=-\frac{1}{2}$.
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$.
$\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$.
Tập nghiệm: $S = \{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; -\frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{7\pi}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$.
$\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$.
Tập nghiệm: $S = \{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; -\frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{7\pi}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
Câu 5: Giải phương trình: $\cos^2 x – \cos x – 2 = 0$.
Lời giải: Đặt $t = \cos x \in [-1; 1]$. PT: $t^2 – t – 2 = 0 \Rightarrow t=2$ (loại) hoặc $t=-1$.
$\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Tập nghiệm: $S = \{ \pi + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
$\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Tập nghiệm: $S = \{ \pi + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.