Câu 5 (Trắc nghiệm 1 đáp án)
Cho hàm số \(y = \frac{x^2 – 2x + 3}{x – 1}\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng nào?
A. \((1 – \sqrt{2}; 1)\) và \((1; 1 + \sqrt{2})\)
B. \((-\infty; 1 – \sqrt{2})\)
C. \((1 + \sqrt{2}; +\infty)\)
D. \((1; +\infty)\)
Phương pháp
1. Xác định tập xác định (Mẫu số ≠ 0).
2. Biến đổi hàm số: chia đa thức hoặc viết dạng $t + \frac{k}{t}$ ($t = x – x_0$).
3. Tính đạo hàm $y’$.
4. Giải bất phương trình $y’ < 0$ trên tập xác định.
5. các khoảng nghịch biến.
Lời giải (đáp án đúng: A)
Biến đổi \(y = x – 1 + \frac{2}{x – 1}\). \(y’ = 1 – \frac{2}{(x – 1)^2}\). \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}\). Hàm số nghịch biến trên \((1 – \sqrt{2}; 1)\) và \((1; 1 + \sqrt{2})\).
5 câu tương tự (bấm để xem lời giải)
Câu 1: Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-1; 0)$ và $(0; 1)$
B. $(-\infty; -1)$
C. $(1; +\infty)$
D. $(0; +\infty)$
Lời giải: ĐK: $x \neq 0$.
$y = x + \frac{1}{x} \Rightarrow y’ = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1$ (và $x \neq 0$).
Hàm số nghịch biến trên $(-1; 0)$ và $(0; 1)$. Chọn A.
$y = x + \frac{1}{x} \Rightarrow y’ = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 1$ (và $x \neq 0$).
Hàm số nghịch biến trên $(-1; 0)$ và $(0; 1)$. Chọn A.
Câu 2: Câu 2: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 4x + 5}{x – 2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(1; 2)$ và $(2; 3)$
B. $(-\infty; 1)$
C. $(3; +\infty)$
D. $(2; +\infty)$
Lời giải: ĐK: $x \neq 2$.
$y = \frac{(x-2)^2 + 1}{x-2} = x – 2 + \frac{1}{x-2}$.
$y’ = 1 – \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 – 1}{(x-2)^2} = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$ (và $x \neq 2$).
Hàm số nghịch biến trên $(1; 2)$ và $(2; 3)$. Chọn A.
$y = \frac{(x-2)^2 + 1}{x-2} = x – 2 + \frac{1}{x-2}$.
$y’ = 1 – \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 – 1}{(x-2)^2} = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3$ (và $x \neq 2$).
Hàm số nghịch biến trên $(1; 2)$ và $(2; 3)$. Chọn A.
Câu 3: Câu 3: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 4x + 7}{x – 2}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(2-\sqrt{3}; 2)$ và $(2; 2+\sqrt{3})$
B. $(-\infty; 2-\sqrt{3})$
C. $(2+\sqrt{3}; +\infty)$
D. $(2; +\infty)$
Lời giải: ĐK: $x \neq 2$.
$y = \frac{(x-2)^2 + 3}{x-2} = x – 2 + \frac{3}{x-2}$.
$y’ = 1 – \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 – 3}{(x-2)^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 < 3 \Leftrightarrow |x-2| < \sqrt{3} \Leftrightarrow 2-\sqrt{3} < x < 2+\sqrt{3}$ (và $x \neq 2$).
Hàm số nghịch biến trên $(2-\sqrt{3}; 2)$ và $(2; 2+\sqrt{3})$. Chọn A.
$y = \frac{(x-2)^2 + 3}{x-2} = x – 2 + \frac{3}{x-2}$.
$y’ = 1 – \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 – 3}{(x-2)^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 < 3 \Leftrightarrow |x-2| < \sqrt{3} \Leftrightarrow 2-\sqrt{3} < x < 2+\sqrt{3}$ (và $x \neq 2$).
Hàm số nghịch biến trên $(2-\sqrt{3}; 2)$ và $(2; 2+\sqrt{3})$. Chọn A.
Câu 4: Câu 4: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-1-\sqrt{2}; -1)$ và $(-1; -1+\sqrt{2})$
B. $(-\infty; -1-\sqrt{2})$
C. $(-1+\sqrt{2}; +\infty)$
D. $(-1; +\infty)$
Lời giải: ĐK: $x \neq -1$.
$y = \frac{(x+1)^2 + 2}{x+1} = x + 1 + \frac{2}{x+1}$.
$y’ = 1 – \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 – 2}{(x+1)^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow (x+1)^2 < 2 \Leftrightarrow |x+1| < \sqrt{2} \Leftrightarrow -1-\sqrt{2} < x < -1+\sqrt{2}$ (và $x \neq -1$).
Hàm số nghịch biến trên $(-1-\sqrt{2}; -1)$ và $(-1; -1+\sqrt{2})$. Chọn A.
$y = \frac{(x+1)^2 + 2}{x+1} = x + 1 + \frac{2}{x+1}$.
$y’ = 1 – \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 – 2}{(x+1)^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow (x+1)^2 < 2 \Leftrightarrow |x+1| < \sqrt{2} \Leftrightarrow -1-\sqrt{2} < x < -1+\sqrt{2}$ (và $x \neq -1$).
Hàm số nghịch biến trên $(-1-\sqrt{2}; -1)$ và $(-1; -1+\sqrt{2})$. Chọn A.
Câu 5: Câu 5: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 6x + 11}{x – 3}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(3-\sqrt{2}; 3)$ và $(3; 3+\sqrt{2})$
B. $(-\infty; 3-\sqrt{2})$
C. $(3+\sqrt{2}; +\infty)$
D. $(3; +\infty)$
Lời giải: ĐK: $x \neq 3$.
$y = \frac{(x-3)^2 + 2}{x-3} = x – 3 + \frac{2}{x-3}$.
$y’ = 1 – \frac{2}{(x-3)^2} = \frac{(x-3)^2 – 2}{(x-3)^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow (x-3)^2 < 2 \Leftrightarrow |x-3| < \sqrt{2} \Leftrightarrow 3-\sqrt{2} < x < 3+\sqrt{2}$ (và $x \neq 3$).
Hàm số nghịch biến trên $(3-\sqrt{2}; 3)$ và $(3; 3+\sqrt{2})$. Chọn A.
$y = \frac{(x-3)^2 + 2}{x-3} = x – 3 + \frac{2}{x-3}$.
$y’ = 1 – \frac{2}{(x-3)^2} = \frac{(x-3)^2 – 2}{(x-3)^2}$.
$y’ < 0 \Leftrightarrow (x-3)^2 < 2 \Leftrightarrow |x-3| < \sqrt{2} \Leftrightarrow 3-\sqrt{2} < x < 3+\sqrt{2}$ (và $x \neq 3$).
Hàm số nghịch biến trên $(3-\sqrt{2}; 3)$ và $(3; 3+\sqrt{2})$. Chọn A.