Câu 4 (Trắc nghiệm 1 đáp án)
Hàm số \(y = \frac{2x – 1}{x + 1}\) đồng biến trên khoảng nào?
A. \((-1; +\infty)\)
B. \((-2; -1)\)
C. \((-\infty; 1)\)
D. \((0; +\infty)\) và nghịch biến trên \((-\infty; 0)\)
Phương pháp
B1: Xác định tập xác định của hàm số (loại bỏ giá trị làm mẫu số bằng 0).
B2: Tính đạo hàm $y’$ của hàm số.
B3: Đơn giản hóa biểu thức đạo hàm và xác định dấu của $y’$ trên các khoảng xác định.
B4: hàm số đồng biến trên khoảng nào khi $y’ > 0$ (hoặc nghịch biến khi $y’ < 0$).
Lời giải (đáp án đúng: A)
\(y’ = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0\) với mọi \(x \ne -1\). Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty; -1)\) và \((-1; +\infty)\).
5 câu tương tự (bấm để xem lời giải)
Câu 1: Hàm số $y = \frac{3x + 2}{x – 2}$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(2; +\infty)$
B. $(-\infty; 2)$
C. $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$
D. $(-\infty; -2)$
Lời giải: Tập xác định: $x \neq 2$.
$y’ = \frac{3(x-2) – (3x+2)}{(x-2)^2} = \frac{-8}{(x-2)^2}$.
Với mọi $x \neq 2$, $(x-2)^2 > 0 \Rightarrow y’ = \frac{-8}{(x-2)^2} < 0$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Không có khoảng đồng biến nào trong các lựa chọn. (Đề bài có thể hỏi khoảng nghịch biến -> Chọn C).
Sửa đề cho phù hợp: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào? -> Đáp án C.
$y’ = \frac{3(x-2) – (3x+2)}{(x-2)^2} = \frac{-8}{(x-2)^2}$.
Với mọi $x \neq 2$, $(x-2)^2 > 0 \Rightarrow y’ = \frac{-8}{(x-2)^2} < 0$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Không có khoảng đồng biến nào trong các lựa chọn. (Đề bài có thể hỏi khoảng nghịch biến -> Chọn C).
Sửa đề cho phù hợp: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào? -> Đáp án C.
Câu 2: Hàm số $y = \frac{x – 5}{x + 3}$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-3; +\infty)$
B. $(-\infty; -3)$
C. $(-\infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$
D. $(0; +\infty)$
Lời giải: Tập xác định: $x \neq -3$.
$y’ = \frac{1\cdot(x+3) – (x-5)\cdot1}{(x+3)^2} = \frac{8}{(x+3)^2}$.
Với mọi $x \neq -3$, $(x+3)^2 > 0 \Rightarrow y’ > 0$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$.
Đáp án: C.
$y’ = \frac{1\cdot(x+3) – (x-5)\cdot1}{(x+3)^2} = \frac{8}{(x+3)^2}$.
Với mọi $x \neq -3$, $(x+3)^2 > 0 \Rightarrow y’ > 0$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$.
Đáp án: C.
Câu 3: Hàm số $y = \frac{4 – x}{x + 1}$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-1; +\infty)$
B. $(-\infty; -1)$
C. $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$
D. $(-\infty; 1)$
Lời giải: Tập xác định: $x \neq -1$.
$y’ = \frac{-1\cdot(x+1) – (4-x)\cdot1}{(x+1)^2} = \frac{-5}{(x+1)^2}$.
Với mọi $x \neq -1$, $(x+1)^2 > 0 \Rightarrow y’ < 0$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Đáp án: C.
$y’ = \frac{-1\cdot(x+1) – (4-x)\cdot1}{(x+1)^2} = \frac{-5}{(x+1)^2}$.
Với mọi $x \neq -1$, $(x+1)^2 > 0 \Rightarrow y’ < 0$.
Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Đáp án: C.
Câu 4: Hàm số $y = \frac{2x + 1}{3 – x}$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; 3)$
B. $(3; +\infty)$
C. $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$
D. $(-\infty; -3)$
Lời giải: Tập xác định: $x \neq 3$.
$y’ = \frac{2(3-x) – (2x+1)(-1)}{(3-x)^2} = \frac{6 – 2x + 2x + 1}{(3-x)^2} = \frac{7}{(3-x)^2}$.
Với mọi $x \neq 3$, $(3-x)^2 > 0 \Rightarrow y’ > 0$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.
Đáp án: C.
$y’ = \frac{2(3-x) – (2x+1)(-1)}{(3-x)^2} = \frac{6 – 2x + 2x + 1}{(3-x)^2} = \frac{7}{(3-x)^2}$.
Với mọi $x \neq 3$, $(3-x)^2 > 0 \Rightarrow y’ > 0$.
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.
Đáp án: C.
Câu 5: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$
B. Hàm số nghịch biến trên $(0; +\infty)$
C. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$
D. Hàm số nghịch biến trên $(1; +\infty)$
Lời giải: Tập xác định: $x \neq 0$.
$y = x + \frac{1}{x} \Rightarrow y’ = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.
Bảng biến thiên:
$x$: $-\infty$ … $-1$ … $0$ … $1$ … $+\infty$
$y’$: $+$ … $0$ … $-$ … $||$ … $-$ … $0$ … $+$
$y$: Tăng … Max … Giảm … $||$ … Giảm … Min … Tăng
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$, $(1; +\infty)$ và nghịch biến trên $(-1; 0)$, $(0; 1)$.
Trong các đáp án, A đúng trên một phần $(1; +\infty)$ nhưng sai trên $(0; 1)$. D đúng trên $(1; +\infty)$.
-> Chọn D.
$y = x + \frac{1}{x} \Rightarrow y’ = 1 – \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.
Bảng biến thiên:
$x$: $-\infty$ … $-1$ … $0$ … $1$ … $+\infty$
$y’$: $+$ … $0$ … $-$ … $||$ … $-$ … $0$ … $+$
$y$: Tăng … Max … Giảm … $||$ … Giảm … Min … Tăng
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$, $(1; +\infty)$ và nghịch biến trên $(-1; 0)$, $(0; 1)$.
Trong các đáp án, A đúng trên một phần $(1; +\infty)$ nhưng sai trên $(0; 1)$. D đúng trên $(1; +\infty)$.
-> Chọn D.